埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 3064|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?+ P. B5 G9 l+ r* j3 W
" {5 Z, O1 b; @7 g2 f
2。下边证明有没有毛病?
5 w2 {5 Y3 C3 r! e& h9 j1 I" P0 x3 ]0 D0 ~% a. n7 ^! f
设  a=b; R0 h, m0 t- q

- e! {% N, s* _6 R+ i* @+ F2 G  D则有: a*a-a*b=a*a-b*b8 s( ^+ [, S/ O
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):1 j1 W2 |$ W4 V: a6 c: ]  q9 w
0 z$ e9 e# R  F9 {& h
a(a-b)=(a+b)(a-b)
8 V7 W- E; Y  da=a+b
( v9 A  `4 ?  U0 [- Q) m. Q( O1 \a=2a
/ p" z! ]& [( I4 |1=22 ]6 p8 v  p6 ?4 C4 B5 }9 a1 @5 I
# x7 S" O# t' W+ G" O( V. \; c
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试# K) W# U% C6 D3 U0 z4 F; {  Y
# }. r, r/ `4 _: G7 V- \! N
1)不能。比如1
* Z* s; K8 y8 h1 O5 g2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。  i( J2 X3 g3 X! a$ n" N
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:$ E1 W. T! S# n" l) {* h
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 ]" V. K9 v$ F( N% f/ T
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ N7 M5 w2 `& z- i# Z% v! B看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:+ P+ u1 ?- [& C$ }! z
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 a/ b# E9 _- o, E

4 F- Z1 z) A* C- [8 g- N2 Y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
. x* ^( T" y; k' R0 d# P7 ?2 O% E+ ~. n7 X
Proof: & U/ r! b& M- I6 u
Let n >1 be an integer
* `* f5 _5 w$ N9 zBasis:   (n=2)" x! a/ p1 e; x* O4 j( u
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3; f8 f* ~! a' w. f, A0 B6 p
; f8 _& v' C0 J# x5 Y
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' G( g- u2 v# {$ a  s                                     K^3 – K can by divided by 3.7 s& S9 \) c: r* G1 X
5 V3 W& [8 f& h! h% L
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3& H! y& g6 w3 q* k
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem  w$ R" e' j4 p; ?5 {0 M5 x" ~
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# ]% Y8 _2 v! G% s6 F6 r9 H+ m                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% Q& |0 n5 m& N9 o4 ?                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)+ F, c! x. u% S- i' O
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 V3 H$ d  o: p# r, Hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 y" S0 ~: T2 }So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; o* L* V& X3 z  k$ l& Z6 c                                = 3X + 3 ( K^2 + K)6 g0 n8 R1 V; C" I
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 {) p8 ], B; D' L
4 t+ i* I  ^7 o+ c! gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.% Q  O- D! z3 g8 r0 q

8 e4 a" c9 ]0 b[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 d/ h: ~5 D& n0 U- P$ w* f! N7 y' h/ Z6 Y+ Y1 d
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:" ?. A6 g+ s8 Y% `' [9 e( F3 k
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 |0 d4 D# ~( ?! m  x" b
) R/ X; D( W$ D: fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-9-21 19:20 , Processed in 0.117998 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表