出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
5 w2 {5 Y3 C3 r! e& h9 j1 I" P
设  a=b

- e! {% N, s* _6 R+ i* @+ F2 G  D则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
8 V7 W- E; Y  da=a+b
( v9 A  `4 ?  U0 [- Q) m. Q( O1 \a=2a
/ p" z! ]& [( I4 |1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
* Z* s; K8 y8 h1 O5 g2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ N7 M5 w2 `& z- i# Z% v! B看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 a/ b# E9 _- o, E

4 F- Z1 z) A* C- [8 g- N2 Y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
. x* ^( T" y; k
Proof:
Let n >1 be an integer
* `* f5 _5 w$ N9 zBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' G( g- u2 v# {$ a  s                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# ]% Y8 _2 v! G% s6 F6 r9 H+ m                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% Q& |0 n5 m& N9 o4 ?                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 V3 H$ d  o: p# r, Hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 y" S0 ~: T2 }So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; o* L* V& X3 z  k$ l& Z6 c                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 {) p8 ], B; D' L
4 t+ i* I  ^7 o+ c! gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

8 e4 a" c9 ]0 b[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 d/ h: ~5 D& n0 U- P$ w* f! N
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 |0 d4 D# ~( ?! m  x" b
) R/ X; D( W$ D: fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.