出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% O6 [. T9 }/ t0 b5 n; u
' q9 U9 M6 v  Z. e1 }$ `* m: ~2。下边证明有没有毛病？
) o5 r4 t0 c% Z/ z2 t$ C4 e2 d/ Z# W
& v: P+ _; D" U! W( @5 s4 z1 v0 _设  a=b
  N3 z2 T3 r; S- b* c
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% g) G$ p7 i, u! K; n
& w' Y' F3 Z8 D, q5 oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
. u9 b0 _: M6 v  ka=2a
5 L2 Z& u, l" B; I1=2
7 L9 t% A% X& f+ V
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# z, D8 c! B. [- e4 r
# s) o& R# f: a- y; s8 l1）不能。比如1
3 X3 z, t9 ^& {4 i: y- ~1 z- @( r2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
& V; M) _) {7 U0 M9 {; g  L
( F) j, W! V' o: X- V# AProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

, H! z; h/ J- D# l; NInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 M' X2 C3 r. V$ e+ y
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' {: _5 g7 \) v& [0 c1 [since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 ^8 h  w. J/ F, z/ B* L% T                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' A# |* ?; q4 o+ I# y) t* B# pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# i9 I* I/ ]2 g- ?6 q) w( USo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 q; T4 ]. \- x  H                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

4 D+ C' H+ i4 S, M  r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

) P1 Y. I; P$ s) ?. X' W! z, p  y' A第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: ~# j8 b' K7 o2 C7 M
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.