出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
* m7 [4 I2 K( Z- n. L" V+ S
3 A$ d; F2 q2 S" _2。下边证明有没有毛病？
2 p( O& L, i9 y) Z+ }7 H
0 K# a. f& F+ {, e# }6 f' ~设  a=b
0 M7 l2 e  q) w
2 p: ]0 e1 h' N则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: T- J+ f5 F# S! K, T, {两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 z& o7 T: e9 z2 f  J
a(a-b)=(a+b)(a-b)
( g0 K% }; [6 F/ qa=a+b
' \, {8 x) q. e0 D9 w. G- Va=2a
1=2
" T9 }- N" G- D( V& i
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

- G, A# b* R# o! \0 ~$ T$ v1）不能。比如1
: s$ g% `: P) p  J/ x5 C7 D+ j2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 l  T. v3 C9 U  Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 h" r9 I/ M; a6 p5 ~! ?( v6 K- F看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" j* i8 ]9 T4 l9 i/ Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& @5 o6 w# \  }6 n4 u

) |" ]  W) j& C" j为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

) G) G3 v2 w0 z& Y% D8 q6 e4 rProof:
0 V$ A, M0 a: s" ]Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

% Q* ]* q: C- W% }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

0 p$ Z- t+ Q9 p6 b/ e" ?Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. u) E2 R! h5 d! s9 ~                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( Z8 C- e6 Q2 ?% l5 f3 d$ Zby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: @3 g) r# O$ \. uSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# [# c" @" E! D; X3 f/ W/ N" U
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

5 o2 P! r5 e: u. e" e! V& ^[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 R( H5 T0 |' eSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.