出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

  F- a  F: V2 x2。下边证明有没有毛病？

, Q) L# |. Z2 P/ \& ?( `设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
3 P7 [3 S+ W1 ~  S/ O8 l& G
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
, ^" K% [; g( r8 E3 M! D/ D# a1=2
0 k: h+ I+ m6 e, N3 q
% M6 s$ G3 R7 X; W9 v! `8 b/ f证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 {6 P8 @1 A* l
; |  A1 S1 ], i2 `3 f7 G! i1）不能。比如1
* B8 o1 J8 y' w% k8 l2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 Z2 d/ P4 |7 w6 h看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

; O9 g; Z  l; V( I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- M) {2 d6 ]" w4 h7 T) _3 ?' \
# j' k' W8 [( j$ |! H7 `9 ]1 _Proof:
Let n >1 be an integer
! [! N4 V% }' O; X: qBasis:   (n=2)
2 X  k5 [5 V% j         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

/ G. m+ ^' f7 Q2 h* s$ CInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: X* U" l" n6 \$ p, [# [3 usince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  q- O! Y( H* w7 m* \- hThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 @- v9 x8 _4 L) e                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& E( T3 x& I+ Z  t6 L" CSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) z" `4 o% I- q0 J3 x
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- t% J, o* S- J* N5 }/ q
) _+ _0 |, H1 s# _$ E7 {: B$ J+ ]- ^( C[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: J( c, ]5 p. B  S5 d$ IShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.