出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. [- K( g- n# @! b/ G! e3 W6 g" j
, t) z1 j$ O7 i2。下边证明有没有毛病？

1 d( y; W" A% {& L. z# }设  a=b

0 U6 _: m# _1 R. ^3 ]则有： a*a-a*b=a*a-b*b
$ K& r! Y4 G' \8 X; q, Q5 Q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
" B; p% v5 A; t2 [a=a+b
! i, X0 i* b( p3 d( ?a=2a
( c. G, N- ]4 I4 D' h3 U1=2

: b) M& L& t) }) {$ m+ Y/ O证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 c% _/ z: Q' P# D  ]5 v
1）不能。比如1
1 [+ _5 h" z- K) H0 W2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 k; g1 `# F! n+ s( }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 P+ |1 J" O, e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( t  Y8 F" c8 c8 l6 t% e看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, T' v1 f4 ?+ eProof:
Let n >1 be an integer
0 c, s$ b' B) v# s% E  K5 UBasis:   (n=2)
! Q. b. \5 w; X) S: R         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ b+ B5 J& n! r
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 h* r. r1 O" l7 Y/ D                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. Z3 D! Z9 g& S4 E                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! N, J; K& V7 {. y5 M# q# I- ~by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( A$ `: Z4 g' V- r5 o; D  eSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: [5 |9 v! t  m. l' V5 t/ @4 X                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" N" I: z6 ?3 f9 S3 H% B5 E, ]- w
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

6 k# w& d, E9 k" G[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. e: A- \% Y8 T0 D: @9 ]
) o9 w3 T' I6 s4 L第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 k- g" B' @' `; Z/ f! {7 J0 O/ FShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 z- X) X5 Z7 A+ F& ~
& V+ s$ z$ ^% i% g8 S; }2 XSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.