出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

" M5 y3 n7 ]4 ]% n: g2。下边证明有没有毛病？

. a' Q: E$ s# E9 w4 N设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 C/ T$ k! C) w7 R两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
4 j4 B6 Q. ~3 _4 m+ E
' b1 t% N4 r8 g5 {a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
8 L; R' _+ x* g$ V# A) x/ va=2a
/ q1 g1 S0 L4 D. m: ?7 [1=2
7 l( m' u5 a$ T% s. G% X
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: @) r0 O3 Z8 e
4 F# @9 _) U. q# J  q& a, q1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 q1 T& y' X) `; F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 g6 K/ r, A2 T, m: p看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" U8 ?- E' U+ G. @/ B5 P$ k, k  w- Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( K9 f" n% e0 l9 A3 E

; I4 f5 E3 p9 z4 _, u/ W为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; M$ r3 t& s3 b7 d+ e0 \
" _! e9 n! F* P$ C# o5 v( I3 g# ?3 p, zProof:
% W9 B6 T5 U4 z; vLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
3 L* `& e! X3 G         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) I- A) X& ]( {7 }: w. j
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ q+ D3 b. ^- ~/ u* A' y" ]                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 f+ h2 i9 [. O! r+ G+ o! a                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, B, l5 p6 R0 N* q% z; sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. O* p3 @! A4 F' W" c; ISo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 d. i6 i# K+ }) }8 o0 d
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
9 Y0 W% a  ^$ Y+ q& n1 j7 Z) @/ S
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% |9 C0 X; N& V0 t
' ~2 E# M& R- F1 n' {: N" z8 ]- aSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.