出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) W! I: ^, ?# i, R
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
) ]! r/ |( J: K% C  R: A2 F
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# V. m, W6 ^0 l7 M; X; A7 r* ~
a(a-b)=(a+b)(a-b)
* k9 `& Q$ K2 H8 _a=a+b
: _, ?! o: b) U6 za=2a
- ], i1 }4 g" y' f1=2
5 u( `5 B, x: n6 J* l3 v
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- R$ ?7 Y# m1 k. Z
& c' u# t! o) f8 K! P, ^( X3 C& W1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' E4 F. t  C: e) ?( G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 E- [- j! c0 }) |" s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ \& m) Z( {. O  R/ S看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* M1 Y: w$ k1 x) Q; k! J
4 X6 _1 X/ t0 b+ V' f- N4 P" LProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 b2 [; l4 n9 q3 i) h
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; J4 j- o# P0 s. v) Xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 p7 m6 d9 h( B) p0 o( b; h; GThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- G2 p6 Y2 \# d" y& {. Q. e# r                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ G# D* T* X; d0 e4 E                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& d7 M, i0 Y$ W. @% u7 i* F. \by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 u& f. z1 D8 ?So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# Q, a6 b5 J6 l0 p" ?. T                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 C9 Z- l5 m! j+ a' j  m% ?9 L                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 [' r5 s1 C3 }3 p" \) y" S6 _Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ g) W5 h0 b4 h9 |4 Y3 V6 G' z4 \+ N
0 d* j$ r1 _# F[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

6 Y) ?5 h" T, O* ^8 j第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ q+ B& N: }* G8 dShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% D  s* o4 @+ Y+ A4 |, z+ g* b5 _
8 h1 g2 L6 h, qSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.