出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 e, ?! M- v* R( C7 L9 z# I
0 w2 d& Q4 I- k9 H- b2 \% X  ^# o2。下边证明有没有毛病？

% D. W$ a# k* b; Q& ?设  a=b
' _) o6 E) k+ \' ~4 Q# M
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# ~) D8 {+ e; ~' e5 ]% E2 y两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
) s# \- c" ?' W! i3 Ta=2a
1=2
1 J, f% v: o( I/ F
: u6 |/ s) ~8 {$ l证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ R* b$ z# Y$ w) E2 c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 s6 D1 ]2 @/ x7 Q- D: U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' M- }* T, F$ X9 s5 U* \看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 a5 x! |, q# B0 d4 N4 U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

) u& v3 C. c; R8 J! V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

9 \9 f- E3 b5 \Proof:
0 Z+ {0 e2 X/ b4 F4 |5 pLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

# u8 ~: T4 t4 L6 J2 eInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 \- l# [2 x' M/ ZNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ d9 q, o& l0 _8 G9 e4 U' j: k                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 c- A9 O+ T* i; _7 L/ pSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ z6 X$ h, _8 E$ x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

6 F5 f2 o' u5 Z" X! TConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

- i) J, I9 a5 v5 d4 J; r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

+ H2 j& G- t  [( {第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; r. ^: Y9 W; [+ A: P/ C, |/ G& {
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.