出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- ~% W! [0 Y/ ^: C) U7 ~
2。下边证明有没有毛病？
3 Y. b, {; b' H2 l/ P- u2 w
* d2 Z; A  i: B设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 L: c! Q7 Y) n$ h8 x两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
2 g1 J7 o* k" _! I9 j
# W' Y$ E  F4 H$ Ia(a-b)=(a+b)(a-b)
$ P! `  v' G$ `# Za=a+b
a=2a
1=2

2 r- @$ O  y  U* a证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) s/ p9 e& A. h; J; Y
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  Y0 F# ?6 s1 \" ^& K5 f6 p" L# j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 p1 K0 ^; \0 J& L看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 S& j& Y# V% z# u! h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# t: z" X0 p0 p1 W

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
& A# e! I3 I) v" H
Proof:
Let n >1 be an integer
* L% j% J+ t, Z' {Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- h. k, Y/ i8 O! Y
2 b% {, o' T" E) |Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

. N6 d4 f1 X1 E2 HNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" M; v* H: a% Rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 `( V7 H0 _) I# i1 y6 u: `Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& A. R+ f( v5 K% j  K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" _3 Y' t: b- d) n" n. U+ O- K  K. d                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, p& ], k6 {7 d% gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ q( m% B$ `( C  PSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 S8 s# X4 A( N- i- P: @1 S8 T                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: e7 J# i, @* q2 Q
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* E, u  @$ d# B+ {8 c
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% P( ~1 d5 W- a% T4 o+ WSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.