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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
9 o: S! D1 k- d/ i- J7 P! z: l9 Y2 K2 f
2。下边证明有没有毛病?
% D, @8 q6 j# c5 G4 s1 ~2 U4 `
+ z& K. u& f9 s  k! O设  a=b6 H# e$ I% X; r0 M) Y. w. R

6 e4 T- U" _7 @8 R% n则有: a*a-a*b=a*a-b*b3 h: `  ^* b* |; z- G
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
8 d6 \7 ^, N3 R: `4 U  d' \$ S
a(a-b)=(a+b)(a-b)  p% U1 k$ h( |  z* D! z4 O3 E8 ]# i: h0 k
a=a+b: c# `9 H# w: E5 d: c$ o% P
a=2a
. f$ R' N) f0 e5 J, _" X% J. j3 s1=2
: d' R8 B( v. e- d7 |/ M# T- K, ~( [& P  d
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
* L7 Y/ V: L% A3 }( L  Z5 m' Q  C% W
1)不能。比如1
" d4 O9 _/ V% K8 K* f  h2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' C, D" Q1 p& C, n+ s" G
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 v; }; T/ `5 f. i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。: Q, s- y% S  R
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
. x) k. c) I& Z. O% {
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 F% W: M. D( l! t2 q3 Z% t7 q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 }  s  s, z) \& @
  A6 O; ]: ~5 G3 k
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 D$ c( S  L1 A9 q% \6 j2 a( ?3 w! A0 q, k# ~
Proof:
# N' m' ^0 w) CLet n >1 be an integer ( E! p* G! L. O" c9 v
Basis:   (n=2)' _1 p0 Q  {* \3 y) D9 a
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. h! l+ U9 H" x- O3 d
! b" w  J' ^7 x4 m% ^Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# x: }" H) P& m                                     K^3 – K can by divided by 3.3 i/ x( F  t2 F9 D/ i6 Y$ j; B% i

4 `8 Y; J) |& WNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: I! Q' G% m# ^" Ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ s5 y( _  @, b7 n4 W) R' p' QThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1). c9 F' y( |6 z4 a. L
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K5 P+ Q7 G8 u, `# k& f
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& k" K+ |2 Z( N" H! J8 O                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)0 T# q- c, J" d- w- U6 R7 F( _
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! E; H: |0 X: X. M! uSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)" l! P7 A* H/ i
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)# p, i5 F+ K$ H  J* I, I: D
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. D$ E& a: t. n+ M  S3 Z. t! B1 F% ?
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
# E/ x7 m7 s. _' Z& ~* [+ E  g
3 A7 D7 t9 ^3 X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。! z: H0 v$ j- `: j5 d9 O6 Z% r) Z

$ p0 h7 i: H7 [% }# O# E3 t第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; x4 {# x3 x6 X( }: V+ d! w+ a- Q2 jShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 U, V9 p- i1 k* \3 g  x
5 @2 E7 v+ l( z9 cSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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