出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 G# C% \; w" x' i
2。下边证明有没有毛病？
0 S2 }% j2 O+ ~4 f" q
2 }0 u% {1 x- k9 F  R0 [" w1 u' B3 E设  a=b
7 \7 ^4 R' m  L, s; P& X
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; N5 d2 r( j- T$ C: x3 R两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 d) J( G7 [' m( ]9 w% T
  y: |' g2 u/ `3 V9 ta(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
8 b0 x# U' d6 F0 x$ {1=2
* Q' r. ^- R& }5 h
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
( i) u9 S4 H" M; J# t9 f8 m& A2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 W& @7 M9 L4 O! \* b- T. l+ G( g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 ?- T3 q+ R. Z" Q$ O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% d9 t5 G  X/ Y; W8 e4 K  V
Proof:
Let n >1 be an integer
3 Q3 H5 P1 Z+ TBasis:   (n=2)
% R/ |' ?0 W- ~* y         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 S0 P! o7 u5 `  d. a$ D
: l7 E4 Z% j. r) zInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 t; O1 z! T# c7 V5 b. z' M7 u3 hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ L0 Z: n' [% U, _; R: yThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: V! j& o' y3 A                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& d! a5 q8 d8 U' b# Oby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 q  d" f0 Z" F4 F. KSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ R  U9 w- T1 C* J% ?1 ~                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ U2 H6 f  `* Y3 S. L                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: {4 R: S) h/ g7 |& N! R% k7 x4 E$ j
  l8 w8 T4 p, ]* F% G+ wConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% R2 s8 w9 x1 ~. I
  z& f9 V2 ?2 i* [' X9 P第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 q6 C& n0 ?; k5 B7 w5 uShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! V, G! j' ^- O6 Z
4 d+ Z  U9 O+ d. c6 L) p* `. SSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.