出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 o: S! D1 k- d/ i- J
2。下边证明有没有毛病？
% D, @8 q6 j# c5 G4 s1 ~2 U4 `
+ z& K. u& f9 s  k! O设  a=b

6 e4 T- U" _7 @8 R% n则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 d6 \7 ^, N3 R
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
. f$ R' N) f0 e5 J, _" X% J. j3 s1=2
: d' R8 B( v. e- d7 |
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* L7 Y/ V: L% A3 }
1）不能。比如1
" d4 O9 _/ V% K8 K* f  h2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 v; }; T/ `5 f. i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 F% W: M. D( l! t2 q3 Z% t7 q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 }  s  s, z) \& @

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 D$ c( S  L1 A9 q% \6 j2 a
Proof:
# N' m' ^0 w) CLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. h! l+ U9 H" x- O3 d
! b" w  J' ^7 x4 m% ^Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# x: }" H) P& m                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 `8 Y; J) |& WNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: I! Q' G% m# ^" Ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ s5 y( _  @, b7 n4 W) R' p' QThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& k" K+ |2 Z( N" H! J8 O                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! E; H: |0 X: X. M! uSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. D$ E& a: t. n+ M
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
# E/ x7 m7 s. _' Z& ~* [+ E  g
3 A7 D7 t9 ^3 X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ p0 h7 i: H7 [% }# O# E3 t第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; x4 {# x3 x6 X( }: V+ d! w+ a- Q2 jShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 U, V9 p- i1 k* \3 g  x
5 @2 E7 v+ l( z9 cSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.