出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 q4 ?/ I( v; S' I$ Q; o$ z0 n
8 W4 J" E! B0 T9 c4 Z  i3 M# w2。下边证明有没有毛病？

% @( E  _4 U7 J- e! j设  a=b

7 |$ W' T6 b8 o. Q8 C: Z4 O则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: w' X6 y) F( r+ h8 ]4 T! O* W两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 Z/ |$ T9 \7 F; J$ o. ]( ?1 W& Z6 d
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 k, Y8 P- q8 @1 M+ Q/ G* \1 x/ s' A2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 w0 R- a. L" }3 H* x$ R8 n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# U) G- H7 T2 d9 l9 r/ J) v" v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ Q0 T0 N1 p3 H6 z8 J

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 C, ~: s+ d- |
Proof:
Let n >1 be an integer
& \8 M6 g3 [  Y: }1 a4 q7 [# wBasis:   (n=2)
" Z  G# s3 M+ k- p7 \1 h/ ^$ H         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
; P+ y5 v2 g. }3 s2 T9 Y
- H: h& r& t9 D0 b) T4 dInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

2 b$ @% `* y# j1 y* ENow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! W" V, r! m+ L" L* U( D( esince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% b8 n; E( H8 v( p, M* }( XThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  T1 g8 o+ Z) }% y2 D8 M                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* j8 B& a% Y! h% c# W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. ]+ h! s6 K' j; R/ b( `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: D  @4 t& J( c; I+ M, D8 }: i( kSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 C5 S+ c$ J5 v3 X0 O0 G) l                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

% }: }' H5 Q$ X, n- t& M$ v4 j: x, KConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ }& ?3 v0 t5 l! m" ?Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.