出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 ?$ b) x6 b; y2 s
2。下边证明有没有毛病？

. d3 T) r; B7 O7 h* R设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- Y7 H) H* A' z! S5 Y/ r3 V5 `
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
9 P% U) l9 K9 ^: t* S1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 ]: w- H) f% f* P9 R
7 z1 W' T) j) Y: n! W$ r- C1）不能。比如1
& F1 @( v- e0 `, j; J# C/ m2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ A, c5 R( m% C' u1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, m% V7 J/ }( `$ i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: W5 j# B" {) e$ `$ ^看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  w5 \8 Q$ |$ @  ~8 r+ g5 I* [

- z( P6 ?* @) B3 ~. o: O为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* F, E% f6 c3 S, ~, o# M) _
- V# k/ N2 v' ^$ f% y: ?Proof:
Let n >1 be an integer
/ ]5 L# U* {* x# U/ x+ l8 KBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# Q# d' @1 O" N+ p/ B, b
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

( K% }! Z# p5 ?Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 E  A+ L, q  {, i$ X- ^# [$ _Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 b8 ]* o2 T" l. x; ]                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' N7 U) Z: Q6 ?4 g4 y, Qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) @) V) `# p# p2 o/ c5 w1 C. YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

9 Q) t6 h+ l* c. OConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% b- x9 i8 m9 n% l9 Z" `7 T
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ I) T, R) ?; O1 v
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 o) ]# M" e% P+ y& m, C0 p( N* GShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 X- k4 T& ~, i( w, z
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.