出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

9 Y4 `- B6 |" e1 j6 W# ]设  a=b
5 O7 K6 V" M! d( u, R  Z
/ W& J3 r! w$ U3 I' X则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
0 M0 ]1 r7 M% Z. T1=2

1 \4 x% v0 ?# t9 U: l2 ]+ S证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

0 U0 D/ e" \! M0 P1）不能。比如1
+ t/ L8 Q% ~: S! c2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 t. q1 P3 y1 P* Q/ n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

! p2 G6 p4 Z0 W- \- o* r* m为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

9 F0 \/ c7 m; l* n' M5 kProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

3 D$ f' t; L, ]; D/ b7 CInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* V, j8 L# A8 x/ w! Y                                     K^3 – K can by divided by 3.
& f1 O) A. [& z3 O# v
! n3 _9 f1 e. i# l; E5 E& R% k7 v9 |# RNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 U, {/ a) ~* i( Q- j- Dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. T: Y% R2 S! ]6 SThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, B' x- `4 f" M3 I# s' i0 Y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
( d( [4 G$ ]5 v# q6 e. A                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 c9 e) T$ r8 \0 q* o                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  d3 S* x& n! ?0 Y: r: E8 H. h/ L3 ~So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ x& O$ r: t7 G9 \& ^) L8 z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

+ A! D2 x+ [' t2 [' `Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ [; d% c6 j+ H1 D, H- j; L
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" u* {+ f+ _2 T2 z* H0 e+ e' l2 dShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& @3 q6 {  `0 R0 x
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.