出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 ~# ]- b' Z  g! X
2。下边证明有没有毛病？
7 ^2 k/ {; g( r" J. b/ t
8 l  y! {/ X' [' H$ p; w* T0 W" I设  a=b
# n1 U' I# P" M, l1 a. p
: [" @" Z2 C& o& ~! p! K  @则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

9 I$ s1 S% b& |& a) qa(a-b)=(a+b)(a-b)
# S: ?2 d/ J/ Na=a+b
a=2a
1=2
8 C5 ]1 t1 s# Q5 g+ j% q  Y
7 i. _) d0 ^& G7 Q; G$ c  X证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

+ i6 m8 X# C" L1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; [) g8 z( u. e0 ]5 Q+ V  J- E看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ F9 D. q- f. ?* J5 F3 \

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 U- W' `  a) H- [8 i
9 c( v1 D( m9 S7 K, x* xProof:
: A4 ]0 P+ j3 G: ZLet n >1 be an integer
- K# t" Q" b( t7 ^Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) y# N, m& i4 V, T6 k; f/ ~4 E
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; M2 f7 Q3 {1 d. ~0 G9 V- q                                     K^3 – K can by divided by 3.

& y1 o' K: P6 I! L, M' wNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 K5 z7 f# E/ N& L) k& Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
! {$ }6 W: }( n5 e" r, y* Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( O( C5 f0 H3 |/ }/ }- J7 hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 g$ R! R3 I8 W) \  |& jSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& G/ w* b2 R* u7 e" A# u                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( S* @+ y: C2 Z+ N: {2 U- v) S
# F$ N* ~, S) }# w4 b9 mConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: a4 u! p" U# ~& r
' f# d. }& a8 X* E1 a& h  D[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 m! C8 N% m4 N8 f% i) {4 J0 c第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 ~0 f) C- \; x* zSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.