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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
5 ]* X& V$ l2 q; X2 B0 H/ Q5 W# ^( o" C+ h7 J. i& C+ e
2。下边证明有没有毛病?; r, R5 X9 T) M2 D

5 z7 D3 T+ N) [" x: D0 {$ N% {设  a=b. z1 j+ O7 `  v8 H' i% h' n- q: a
  r' A( {% f6 A5 g! W
则有: a*a-a*b=a*a-b*b3 C+ }" [2 T# h/ _! i/ p; ]0 V
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):' {4 r9 l0 |1 b  a3 ?

9 U4 e6 i/ U0 H2 ~1 I& va(a-b)=(a+b)(a-b)
2 b( d- V1 [2 ?  B0 V# ia=a+b/ a1 ?4 z9 t$ g1 B
a=2a
; D/ W" y) ~8 _5 b* v1=2
9 P1 J8 W+ ^! L% t
( |8 e' J% n8 Z& ^' ?证毕 ,结论,1=2
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试, G& n0 O) x- X1 p

' T' N# Z6 {; ]3 g3 E% J; Q1)不能。比如1
, W# V% k- |- G1 K! Y2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% M! \2 W1 B$ ?6 Y5 W" v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:. W' w5 ~2 E2 R; z) O
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* e) m3 h: _  @
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
% r2 U& B3 F# l& z3 A8 a$ o
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ ]3 D! r+ I4 U: O7 O/ I9 _
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
! z6 B, J* j8 A5 u0 |( B
! i1 ~1 l1 \  `3 N
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
  F% w! T: i% i7 g/ {0 U7 f/ G3 r8 n9 X
Proof: 2 Z. W% k3 K4 n8 A* m/ F
Let n >1 be an integer 6 b) l2 I; {$ N2 K- G( ^
Basis:   (n=2)8 ?* G8 Y% Y) k# i; ^, J9 Y, ?
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( n) @# ?3 O7 }/ Y9 x2 O
4 P, {' K. x. O4 Z6 K$ \5 ~5 u/ E) S0 JInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that" K0 }8 ^( _* J! d8 b
                                     K^3 – K can by divided by 3.: U, V; h2 U: A' q4 K6 D
6 A# i9 n, S6 r0 K
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3( V2 _# [  {3 M. t* k
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 b9 N4 V' ~0 R* v1 s+ w" h6 k* tThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)* j$ |: }" B" E' n9 K% I, C/ m. I2 Q
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K8 x( ^8 i) [" O/ p
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ S& x6 m! Q/ W. K1 A6 r' k                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)8 Z  f4 b/ o3 z  M) e3 c+ p
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- |3 w1 n+ A% e8 N  fSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)2 T- B8 S( D# u  _7 k
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)/ ^7 C4 k1 ]' K+ G
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
/ V/ r% ^" t1 ~7 N
% X: v& E0 O3 p/ X( T* g9 v# e* OConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 A2 }$ ?) h, q! S1 R. |7 f9 r! P- ]7 Y4 X4 j
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( D. `2 o# C/ r; W& z1 q2 b" V3 H: ^
% v2 q9 D9 ?$ e5 [% _" R第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 M2 W7 B  x. J: w0 l/ u2 `Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
5 x* T* K& \6 U7 W' i. f9 R
9 f( ]6 Y  [  D2 F4 X0 Q6 [
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
大型搬家
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