出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- M5 J. @9 ]0 L9 x2。下边证明有没有毛病？
" _  f7 T; S" b+ O& F
) i% P+ A3 G, a设  a=b
7 I: c" k# j4 y$ b3 ^6 {! s
( V  D" v' v& |# d3 y! C$ g. T- B则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: F* b! o+ n5 W# r$ L两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

  ~1 h7 Y- G* oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
' ~/ K4 B& f0 B. Wa=2a
0 J7 q8 V, q% T0 ]  j1=2
* I3 E% e7 l* X* @  ~* L
/ P3 j$ j( @6 o! D# L! P证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( x# `! e" V8 |7 }) _: [
. e! @5 T, B: I4 l8 }9 y" u1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 a) i' \8 A; L- Z! C& Y- z, u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: ?* W0 g( H6 Z% z' f/ R6 W; k  k6 g看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 A- i7 x  c& J& J- d

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 l0 L8 q% Q! e; q) H: ]1 v& i3 V
9 r+ D3 l' l, U1 y; RProof:
& f" D# M. }. }$ a1 HLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
3 \' d/ T7 q0 `3 W- i/ H2 H; l# k         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 z! p' {8 {- m0 i
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 g- G- G6 v  C% Y1 Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# f7 @7 E* C  d! ?1 ^' D                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 a! r! [! V  U9 b                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, ]/ l0 j# r% z' G* y/ Sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' K& m; z2 d9 i% U# u& \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; W) F1 c7 t7 X                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
* D% F; p* r. \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 y4 `. k% F" \+ R
! O9 Z" Q4 U) Y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% K: g8 r  E  L4 e" M1 e6 F# u
2 x/ t! G7 [4 q# A8 w  `8 k& o第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" v6 ~$ m4 J: T3 wShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.