出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

. N  C. e4 x* B  m+ \+ w6 D- c2。下边证明有没有毛病？

& U+ e& s2 R5 O% ?. E设  a=b

* u' C3 m, b5 H+ }  }2 |则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 f. U! ^* i  A5 A两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 d! ]/ ]* W% d3 I3 C) E
( o" y: F8 I( y% [' v% ?* _a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
' G+ y6 `8 S" N. da=2a
1=2
9 A9 u" s5 N" k
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

8 [- H$ w  a4 X4 W8 \1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 h) s: E: U# w# K0 O$ E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

( n# V' _* P& }& W6 o' z% t7 M$ oProof:
. J; h1 o6 l  m% eLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
# e: I% g9 M5 r. v* a         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, m$ U2 ^* W$ R/ k. S6 {( X
" K% b" S" h1 n0 jInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 z' a$ h6 w: A. \, z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ j+ b; I! |) r. N: J& f5 i0 Y% U                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, Y/ w9 Z3 y6 i7 a) r                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* s, H1 k, `- |- B$ }' {( V, Mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ y( F7 [' w, G( lSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* O( w) _8 w& e% I4 p( |
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& E1 W  M% d6 {+ y- I$ w* m3 _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.