出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 b' j3 D1 f# J( w  H% Z' k: e
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

1 p% f: s. j' O' [% s则有： a*a-a*b=a*a-b*b
8 ?/ N: a7 A' T9 K8 p3 E* X: U1 x两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

5 r3 h; c6 O$ Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
$ m% v9 o9 y( c8 ~1=2

0 }- p4 V7 j) }- m) B5 A0 T# U证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

" Z0 n1 R' C6 U% Y) z5 m2 f+ `! o1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: A# {+ o9 S. h( U+ x  R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 T$ s, S9 i2 O) }1 }# Q5 X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 O5 |  ~! c) Q  ^' p  R5 x看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% y0 @& h# r! C$ {5 B1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

5 U: ]- F& ~. j% h2 T" k- SProof:
; J+ O6 m3 c6 _! F+ ~' ]Let n >1 be an integer
# H4 x9 D# h, x2 n! v" mBasis:   (n=2)
. Z1 G3 I- g- H; e1 f8 s         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  y  Y% ~+ v- n0 R+ {9 j0 W5 ?1 J8 ^$ D, b
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
1 o* m/ b& l" A1 C7 H0 O                                     K^3 – K can by divided by 3.
) _9 C2 q3 @1 h" w
( B+ q- w" U1 Q& C0 E. O' D; ANow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: @0 {+ B$ E, q5 T/ F* Qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 p6 }9 P+ x/ x! b8 z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 J- E# I) w+ b9 V, N                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! i% `* T1 R9 W, [by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* n( s: Y  I1 ?So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 w1 T9 i* }  K7 T! a+ h4 a                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) }( A; y. j& i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ |  R( ?4 }& j* H
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 ]3 |$ h( M' N1 q* ]7 W
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

; Q1 B! F0 ~* F1 B第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 X0 V; f+ C& Z
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.