出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% h( u& P' f  o( H: B2 b: {
2。下边证明有没有毛病？

1 S  I6 V: o! j! L8 M设  a=b
- h! V% n9 ~2 t* W
& r2 }, ~4 t5 g7 ^则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 O  z! ]5 K4 e4 b: T4 @- d6 c
a(a-b)=(a+b)(a-b)
) U6 V# L$ F  H  J2 ~! a# a" qa=a+b
  `# p3 Q! W/ {a=2a
/ X: D3 J: L; \( X. N1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# o' e7 v# B) x/ ], T8 y& u# _$ j
. l5 y7 h$ [1 O/ h2 V0 j0 Z! J1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 J: y  C( `. r6 @. |& ?1 @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- m8 @  g+ ~5 V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 L7 s: j$ A: e7 Z

& D" l; a" ]& t4 O% `! y. {$ P4 X为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 Z+ A- E. S1 l
Proof:
Let n >1 be an integer
) G" a' R, p" ]Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

: B) x5 ?, A) y2 ?) w0 b( d' hInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

# ]  ?; g# Z$ P# K8 `Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 i  l! h$ H* x& U, hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 b7 m- S- E$ n/ s2 G6 t) a$ G9 l0 @9 z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! f1 q$ D# d* ^$ G& ?                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 T: i; V" A3 r) B
& U- d! m7 _/ I[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 l! A% K! m! i. p- \2 X) b: p
$ w: o2 S6 i/ b6 t1 ~第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; }2 T0 G/ Y5 ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 D( F$ _/ q* j: V% VSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.