出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
2 L4 R( M2 L( |: O
2。下边证明有没有毛病？

3 U6 B% Z8 `$ V8 |( S设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

* |& q* \0 r+ X/ m/ z, ?) qa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
0 S- M% I: V7 u) g1=2
+ ^3 n( M. O* T5 Z1 r" E! m' O
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 f- [( [0 K) p# Q/ n) t- N7 [+ {
1）不能。比如1
8 `" b) N6 B! G2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& g0 F4 d1 p6 p: U4 a" {8 P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 c* G# N" X( J0 X5 }) @看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* c, t+ z) R4 g) j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ S/ h0 {, Q7 j/ O( N+ ]

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
! k# h- ~0 U- e7 Q* r         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, }2 M* n6 k/ ^  D( i( l! F$ M0 k! dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
/ ^' b/ k& }  m5 `9 G+ l* kThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" x6 T0 z2 K: ~9 \: \5 c2 [  ~- p7 [0 S                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 H- V% M' g3 YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# u  A) k' b5 `9 l, v                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 w0 a% J6 {. T+ c+ x# V% p0 e
- `; E! w& b" C% s- @* C" \Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- c; ?' J& X4 E, A: f, S) {
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# e0 R" [" F: `; D, ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# N: }/ I. t7 Y) S0 c! U7 z( j! A
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.