出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 O; B7 Q! l4 I& }
! @1 S" B! ^5 U2。下边证明有没有毛病？

& o( ~+ s2 N7 k$ v' c5 {1 X设  a=b

9 F5 t( `/ S! c& ~则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

: x1 P" m4 |* u8 q  ca(a-b)=(a+b)(a-b)
( h: O4 c$ u& e1 `a=a+b
a=2a
7 Q7 X1 b, z) c! i+ P1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

$ A0 Z8 h9 F5 d7 P' m看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% q+ C0 F. h8 T2 ?" a

0 n3 f+ H- {; |7 u' y3 q6 j为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 [8 I+ n# B  h2 P, @! R* T1 N
Proof:
Let n >1 be an integer
+ a1 ~7 E( d: HBasis:   (n=2)
& x3 Y% c, j6 a+ O, Y         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  o+ m! J. V% S9 d
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 m- ]2 C, [0 m8 t' y  q1 \4 a/ w
- i7 x+ c. G$ l! N/ vNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ B1 t5 {2 X0 }  H: D8 ?' E                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! l, [' X2 @1 j. u5 X/ S* JSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

8 X" ~" l% K1 l; f4 q0 K, kConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

+ ~6 ?3 a# s- ~3 \[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

  l- c! I9 g5 W2 f  ]1 y4 P第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" v& O6 t2 a2 R) W6 D1 USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.