出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

9 D: N) O5 A4 J+ _, U1 l- |$ e2。下边证明有没有毛病？

' E$ x+ g% G' k( c3 a2 _- _3 J; G设  a=b
' i% c5 R# x9 W9 a8 L* d& u$ `1 E: ]
4 M9 _- y; E& e& s则有： a*a-a*b=a*a-b*b
, H9 e, o8 c$ g6 l. ]两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* ]8 |/ x' u$ ]$ w3 t( {
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
0 `( m/ g. e8 l: {' N, f9 ]% w1=2

% h+ q+ B6 s9 I4 Z0 }证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; p1 x: l% {$ _
( u. h! M  @+ Z7 H% r1 g) G1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 L3 K/ l9 ^9 V9 C2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- q/ Y# \( k3 K4 @3 q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 x: P; k# n: Y8 I2 @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- \  y6 ^1 z3 e$ w8 ^

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
3 I- I! l9 t. S         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- t/ k9 o0 z' J3 t0 ^" B" u- g
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

1 z) j( y. k3 GNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: o0 ]; n+ l  l! F3 `1 x- Kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 G; }  U, }# v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* E9 `6 U+ z0 F4 u4 F8 |
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.