出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
  q. r3 t8 R! a% P$ B
7 Q& ^% j% p% m# a- r+ A$ y2。下边证明有没有毛病？

/ w; s8 Y9 w/ n! w$ B设  a=b
3 s$ J6 |# [) l1 {
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
5 `7 r5 g1 }, ~两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
4 c( O$ O6 Q: {! t3 v& L$ ^. Y
: Y: R, Y* g6 e  D% Q$ @! ia(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1 q/ ?6 f9 M# G* d. ^1=2

. V; y1 x1 G" Z! B: k* S6 h7 N证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
: y5 V4 p* Z0 }. r+ L2 Q2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ V9 X2 G  Z- M0 S2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ K) s5 F1 R2 F+ W+ k: D0 o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% R  L. |/ N; e: U+ F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 D1 \7 b2 W+ @  l! _) w8 J, }看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

: P) k6 b  A$ R3 `Proof:
  T8 f* m* u$ `$ kLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
" I" `  ^# P2 X, q2 @2 `' f& F. P% V         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

+ @' {! Q" B8 B2 d% J: m" v# F" MInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 T7 c: W% ^! jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, Y+ O/ C( p& v3 H5 m( H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: W/ O: ~% i9 ~0 x) m* o" c                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, q8 r( Q, R  E" S* zSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 m- ]2 r3 G3 e
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 Y* q4 M! ^# z. S( K- i- Y
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ }+ \8 V& V9 x/ k5 j8 k
- E6 f2 `5 }, ~/ J5 }第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( m& k0 Q' b5 Z# o
' p0 Y! F) Y, ]8 dSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.