出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
5 z; b- Y* C+ D
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. M# T0 A0 A; `, ^, Q
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
" v# V6 q( G- z5 [a=2a
9 ~6 G: i" w) |! R1=2
8 J: f1 q) s% C4 `: M$ F  W' L
- q' E$ `, D% J# t; X% D证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

. d& I! T4 o' t, ^. y9 h8 Y1）不能。比如1
. f% v1 p+ b) u2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 D. f$ F7 X6 r* b- ?- T/ S" G2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

" ^8 z6 L4 Q' d7 j9 J& E2 Y7 g3 I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
: ^2 o$ u* @; w         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
% b! \' `6 c2 z5 a8 F: N6 e0 s
' H3 k+ W9 l# ^$ z  |Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 J" y$ r  j9 v0 P9 p                                     K^3 – K can by divided by 3.
! F2 l' Z8 W6 n4 J/ B
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 d8 W6 h  U5 w; V1 x* o* A! [since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" d$ x2 t. q: e# y" k, C  q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 o* y8 Y8 ^  Z7 @by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: m' s, [, V. z* g' eSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 A6 c/ d7 m1 x2 ]- Y# _( _  }
. T5 Y( C' h" z$ q2 sConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  B5 ^; ?: a/ \% T% p" T
8 t# }1 v* o* Q- R5 y$ \' N[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 {2 ^3 J; u9 P) J5 ~  [
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.