出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
" q6 k& B: Y6 k6 }
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& n$ D5 H& E- ]4 `两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
$ W4 e8 _( I3 B" P2 P% G8 H; x
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
/ o* j( [, @8 E4 v6 f0 J, p# r  u' X" ga=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 ~' b* u& X, }. Y
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; v2 w/ Y6 z6 L2 @  D. c' O7 a看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( i1 u7 j) J; v5 E; x. j; P4 d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ ?+ \! C' \) v$ {4 i: r5 ~( Q

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

8 R1 d: u! i5 y! f/ N8 g2 KProof:
. N1 |2 R: w% }, n8 ZLet n >1 be an integer
) K1 z, U0 {" t( p9 XBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
" Q9 j9 L( l! q+ C* p
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! o# t" o" f  X! _5 H                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 c- t6 v4 B) @* |. ^                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

5 m* v; L# x: H* q+ R[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ {. ^0 {2 X6 ?2 _, V9 {% o  W第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% |+ ?+ N3 ~- t; @& nShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; {6 a2 I; @* h4 M
8 D7 J. M$ U) M* v  bSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.