出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
8 }+ G. F# A+ I
. K& J9 V+ }5 N则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 F; x4 x, O% d2 L6 x7 p4 P& {" L/ A
a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ _' Q0 O* n# B% \; Ga=a+b
a=2a
$ N% w0 F" A! p% ]3 H. \. n* Z5 C1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

5 y" y( k( F* h: }6 p* F1）不能。比如1
/ ]7 Y5 Y2 O5 e+ z) v2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, K' T' \9 O  A: c2 m, F, Q

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' M+ x; p. b0 }, \
% m. R* S) A/ vProof:
Let n >1 be an integer
) x* R+ N( Q) q' @8 g0 xBasis:   (n=2)
) {5 \( A' Y) }         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 J) F: n' A- x) u5 S4 v& i
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# V$ j8 y2 t) ?0 q1 L
4 q4 n3 V! y9 U# Y* W5 h% w0 M1 jNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" h! ]7 c. t- `9 ]) e/ G; XThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 D8 ]" E0 Q# ~8 U- x                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 f. i/ d6 o5 d6 W) YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 z9 h$ S, ?. K7 i9 O                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ T( Q6 ]9 j6 y8 d7 `
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, t3 \! V8 B3 K. K
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  I8 L6 F7 b2 h; g* \* i
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.