出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

& O; a. T; n/ y1 {2 d4 H) k, C2。下边证明有没有毛病？

0 p  F0 c5 T4 I3 S设  a=b
/ B- ?# @8 z' t' e1 w% s) f, j
. b! l4 k: f) t$ Z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
7 `! U/ b. W& _* I0 V& q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
: u1 J  Q) x8 L7 t  Na=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

+ i2 W1 ?# b, F1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# A& U9 w, O4 {! M! [" R, V2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  ]+ k2 y3 V, G+ u* L看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 D& P; y+ F! v+ O$ r3 u

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. h# P. R, n! r1 H* Z" k- ~                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# d/ i; q" }$ Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ }+ D' @9 ~9 P( `1 G                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) ]7 j, [' v9 h( z* K                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' ^/ i- H8 e5 O8 f5 d9 hSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! _9 ^! |, B3 K/ w                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: h* g: ]/ N; f. g# S                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

. b5 q+ v: X: ?- [5 e1 hConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

% C% O2 [4 q) b) V; j9 |3 t* ~4 D[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 E! h. n2 i2 s" a# u+ m. S
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" s% j; t" r: ]9 X% n, q2 i1 {Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 u3 e" ~! A: U3 B4 \! y3 k( [
" B2 F' _6 Z: l( j) DSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.