出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% X6 l4 t4 }- o/ e+ [/ R% z9 j0 ]
2。下边证明有没有毛病？

: S8 i& I! M. P/ t; i3 b+ X! L设  a=b

5 _  M! H# f" A! e. K5 u5 }则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 ^$ @" \! i8 Z+ z5 F# {8 V1 q4 A两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
$ Z( m2 y7 l0 ma=a+b
a=2a
1=2
7 E9 Y6 u0 p# b  ?; z3 y
) F$ @7 a  ^: h3 s( v证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( ?3 r2 f1 g) X
* a, r7 M7 ^: |0 W: W: j1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% q6 T  s+ @1 b. z+ T5 f- A- x+ C看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) n  ?+ B: p8 }9 I1 v9 U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; q  O5 d+ `, r
4 g2 I" \4 S6 P0 U( @Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
$ x8 F( N/ ?6 L% I0 D. D9 t8 Y% s         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 M+ E: a, |4 e8 q' U  N
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

! r# |) J% N  d& |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ _4 W5 \6 f/ F' z  N. D. f- {                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) F0 A9 c5 l  y7 X1 b1 _5 Y) K                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 }7 d) J" w) N4 B6 U; o% V3 Vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 I* c1 }0 N4 F9 b4 z- i% _So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 p* y3 j( b2 m3 D4 |                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( i+ y& {. O$ l5 G
5 {9 z- S' @, r" b. O# Z7 L3 qConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
& D5 ?% u; D# T$ e0 W
! D8 j* e" i% r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
; k; V0 B  l: P4 i
) _, M4 ~) ~( `" w第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.