出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 {1 @% F  ^" {& q1 n+ ]! o
! [/ k) V9 l4 T' S" t5 n% X2。下边证明有没有毛病？

0 o4 s& Z0 Q+ P& h1 q$ t: ?5 [设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  |- {2 W% H, v% ]+ z7 |6 b6 }两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% j4 n% p  W9 f/ o- s
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
5 _- R3 e# o' R' V4 r! v# |' ea=2a
1=2
% M) N) H, E. b
) J3 N7 D) Q' P0 X9 |/ h# g3 L+ J1 c3 P- C证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

( s9 j- v" B7 O: i9 ^4 [1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ `9 o+ `. v3 D" d, r. z% Q* K2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ _+ ]* y" g" _8 Q, ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" g9 o; d1 I% L  \

2 F$ b5 \2 Z. x: Q7 ~为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ d; U( A( C& S1 j: X9 ~
/ {: a) o: D5 H* h+ ^7 F7 oProof:
0 q; r) y$ c: [; h! F5 H8 ?7 RLet n >1 be an integer
6 w* ?% P3 d6 qBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: \& k3 o: D; u" r0 o- ^
" N  w, w, c5 HInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ @6 H% C, ]  G2 [& n0 |6 a
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ `/ o- g# S9 Z% Q! E; N# @Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
1 {& C( p% T$ v3 U' s" {                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ F" j' @; k. D" zby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 E/ `+ `; }5 [- h6 f; d. w! eSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 l1 e( {6 U( q$ ~5 B. o. x  ?                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; S1 [2 x5 I* ^0 N1 h% J# x) Q+ W/ x
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

9 S+ R- D) Q4 m[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

3 t& n' }- M0 V0 ^, v" H% Y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& m, \9 L7 h* S0 X6 V3 @' e9 Z
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.